Les périodes et leurs propriétés

Je ne parlerai ici que des périodes des nombres premiers "normaux" .

Comme nous l'avons vu à la page précédente , au nombre premier 7 est associée la période 142857

La première remarque c'est que le nombre de termes de la période est égale à N-1

Ici , N=7 et la période contient 6 termes .

Pour N=19 la période contient 18 termes .

Une période peut donc , étant toujours paire , être scindée en deux parties 142 et 857

On remarque que chaque terme d'une partie additionnée au terme correspondant de l'autre partie donne 9 pour résultat .

Il suffit donc de connaitre la première partie d'une période pour déduire la seconde .

Par exemple si je fais la division 10:19 j'obtiens le quotient 0, 526315789

Le nombre 19 étant un nombre premier " normal " sa période possède 19-1 =18 termes .
Si j'en possède la moitié (9) je peux en déduire l'autre moitié . Au premier terme connu , j'associe son complément à 9 , c'est à dire 4 et ainsi de suite . J'obtiens alors la période complète
526315789473684210

Ces périodes peuvent être calculées par un autre moyen .

Si on observe la période de 19 ( ci-dessus ) de droite à gauche , on remarque qu'on obtient le terme suivant en multipliant le terme précédent par 2 . ( Il faut tenir compte des retenues , ce qui ne pose pas de véritable problème )

On dira que 2 est le générateur de la période du nombre 19

A chaque nombre premier " normal est associé " un générateur . Par exemple , pour 7 , c'est 5

2 est associé à 19 avec la formule suivante G= (N+1):10

( G pour générateur et N pour nombre premier )

C'est vrai pour tous les nombres premiers terminés par 9

Dans les autres cas , on multiplie le nombre premier jusqu'à qu'il se termine par 9

Pour 7 , il faut multiplier par 7 . On obtient 49 .

On applique la formule G= (49+1)/10 = 5

Nous verrons à la page suivante d'autres propriétés des périodes .